现实世界中的几何体

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所属图书：《跨学科研究与非线性思维（全2册·下册）》

出版日期：2016-02

字数： 19992

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“后马克思主义”是马克思主义吗？

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四现实世界中的几何体——分形

美国著名物理学家约翰·惠勒（John A.Wheeler）曾经指出，“在过去，一个人如果不懂得‘熵’是怎么回事，就不能说是科学上有教养的人；同样，在将来，一个人如果不能熟悉分形，他就不能被认为是科学上的文化人。”^[1]惠勒的话指明了这样一个事实：科学是随着研究方法所获得的成就而前进的。研究方法每前进一步，我们的认识就提高一步，随之在我们前面也就开拓了一个充满着种种新鲜事物和更广阔的远景。20世纪60年代以来，随着电子计算机的广泛应用和由计算机的应用而诞生的“计算物理”和“实验数学”两个新兴领域的出现，以孤子（Slaton）、混沌（Chaos）和分形（fractal）为主体的非线性科学似乎总是把人们从对“正常”事物和现象的认识转向对“反常”事物和现象的探索。孤子排除了牛顿关于波和粒子绝对对立的幻觉，找到了一种同时集波粒二重性于一体的客观实在；混沌打破了拉普拉斯决定论的可预见性的狂想，发现了一种确定性方程所描述的对初始条件极为敏感的无规则运动。20世纪70年代中期，美籍法国数学家伯努瓦·芒德勃罗（Benoit B.Mandelbrot）把弯弯曲曲的海岸线、坑坑洼洼的火山口以及变幻莫测的云烟等一系列所谓“病态”的形状也纳入了几何学的范畴，于是刻画混沌运动的直观的几何语言——无限嵌套的自相似几何结构——分形理论诞生了。然而，这些貌似不正常的现象、无规则的形状却使我们的认识更接近于自己的研究对象——自然界本身。

（一）几种有代表性的分形体

从古代的欧几里得几何到现代的非欧几何（罗巴切夫斯基（Nikolas I.Lobachevsky）几何、黎曼几何等）、射影几何、微分几何、拓扑学、流形等，几何学研究的都是规整的形状（空间的点集合），即由规整的线、规整的面、规整的体构成的形状；基本特点是连续性、光滑性（分段、分片或分块），可以统称为整形。传统几何学就是整形几何学。一直到20世纪70年代分形概念问世之前，几何学始终是整形几何的一统天下，一切事物的形状都力图用连续的、光滑或分段光滑的规则形状近似刻画。笛卡尔把数和形的概念统一起来，建立了解析几何，再通过牛顿—莱布尼茨的微积分理论发展到现代的分析数学，为描述连续光滑的各种运动提供了解析工具。

然而，自然界的许多事物具有自相似的层次结构，在理想情况下甚至有无穷多层次。适当地放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变。所以，自相似是跨越不同尺度的对称性，具有这类结构的几何体被称为分形，不少复杂的物理现象，实际上都可以用分形几何来描述。因此，分形一般是指n维空间中一个点集的一种几何性质，它们具有无限精细的几何结构，在任何尺度下都具有自相似的性质，具有小于所在空间维数n的非整数维数。这种空间点集又被称为分形体。分形几何就是以这类几何图形为研究对象的数学分支，目前已成为一个最引人入胜的数学研究领域。

1.迪勒五边形

分形理论的出现是20世纪70年代中期至80年代初的事情，但分形体的实例却早已有之。16世纪德国画家、艺术理论家迪勒（A.Dürer）基于一个正五边形生成了一个分形体。具体做法如下：已知一个正五边形，以每条边向外生成另外五个正五边形，就构成了一个大的正五边形的轮廓，如图8—6，a所示；再在每个小五边形中放入五个更小的五边形，重复这个过程以至无穷，就得到了一个如图8—6，b所示的图形。这是一个真正的分形体，它具有无限精细的几何结构，并且具有分形的两个最基本的性质——粗糙性（不规则性）和自相似性（部分与整体相似）。

图8—6 迪勒五边形与分形

2.康托尔集合

19世纪，集合论发展起来之后，数学家们构造出一些具有极其怪诞性质的集合，其中许多在今天被列入分形集合中。最著名的例子是德国数学家康托尔（G.Cantor）于1872年构造的康托尔三分集，它是针对傅立叶（J.B.J.Fourier）级数收敛性的研究而引出的，也是笔者早年学习《数学分析》时最先感受到的一种怪异结构。其构造过程十分简单：从闭区间［0，1］的实线段开始，截去中间1/3区间（1/3，2/3），余下闭区间［0，1/3］，［2/3，1］；对每个闭区间再重复上面的过程，之后再重复该过程，以至无穷，余下的点集合就构成一个典型的康托尔三分集，如图8—7所示。显然这是一个比例自相似的图形。此外，容易算出，截去的区间长度总和为1。这也就是说，康托尔集中的点尽管有无穷多个，但却如同“灰尘”一般“拥挤”在一个长度为0的区间上（即勒贝格测度为0）。这些点显然是不连续的，然而可以证明，它们却是一一对应于［0，1］区间中所有实数的。这种构造的自相矛盾的性质，曾经使19世纪的数学家感到困惑，但芒德勃罗却把康托尔三分集看成电子传输线中发生误差的一种模型。在从小时到秒的每一时间尺度上，芒德勃罗发现误差与无误差传输的比值保持恒定。所以，他认为在模拟阵发混沌时这样的“尘土”是必不可少的。