在20世纪经典的数学史叙述中，宋元时期常常作为一个整体阶段，被认为是中国古典数学发展的高峰时期。作出这种历史评价所依据的主要文献，集中出现在13世纪中叶到14世纪初，如李冶（1192—1279）撰写于1248年、初版于1282年的《测圆海镜》，以及于1259年完成的《益古演段》。秦九韶（1208—1268）的《数书九章》于1247年成书。杨辉生卒年不详，但分别于1261年和1275年完成了影响广泛的《详解九章算法》以及《杨辉算法》。出现时间最晚、但被一些学者认为是“最杰出数学家”的朱世杰《算学启蒙》和《四元玉鉴》，也分别在1299年和1303年成书。这些著作并非凭空出现，其对前代作品的继承在书中均有体现，甚至直接大量引用了现在已经失传的11世纪之后的数学著作，如贾宪的《黄帝九章算经细草》、刘益的《议古根源》和蒋周的《益古集》等。

　　从现代的角度看这些13世纪的著作，可以认为它们丰富的数学知识和操作背后存在两种倾向。一种大体由李冶、秦九韶的著作和朱世杰《四元玉鉴》中的一些内容所反映，它们涉及一元高次方程的建立、图形解释和数值求解、一次同余方程组解法、各种级数的求和表达式，以及四元高次方程组的建立和求解，等等。这些内容在相当程度上超出了数学在当时社会生活中实际运用的目的。也正是这部分内容，成为现代科技史家在进步史观下关注和称赞的焦点，而这些内容在之后的数百年间未得以流传的事实，成为了13世纪之后数学发展衰退或低潮的证明。

　　然而，历史叙述可以从另一个维度展开，即以杨辉作品为代表，也包括朱世杰《算学启蒙》这类具有启蒙和普及倾向的13世纪数学著作。郭世荣教授曾撰文论述，在普及化方面，正是杨辉的作品对明代的数学主流产生了深远的影响。此类算书的内容可能并非都是编纂者自己原创，但编纂者会以注释、评论、添加“比类”算题、提炼或概括算法、对算题进行重新分类或调整顺序的方式，构建出一个包括数学各个基础分支的综合性著作，将本属于官学教育内容或部分知识群体掌握的数学知识，向社会中更一般的数学学习者普及。

　　杨辉的《详解九章算法》是一部对《九章算术》进行注解的著作，同时包含了若干层不同时期的注本内容。杨辉在以往重要注本的基础上又作了进一步的阐发，针对他的读者受众进行概念、算法和知识分类的解释，亦补充了不少新的比类算题和算法。该书最后一部分是杨辉对传统《九章算术》题目的重新编纂，其认为原有分类“以物、理分章，有题法又互之讹”，“今将二百四十六问分别门例，使后学亦可周知也”。

　　杨辉另一部著作《杨辉算法》流传广泛，曾在日本、韩国产生较大影响。以下我们选取那些与杨辉编排和组织知识的方式有关的部分加以简要介绍，这更能体现普及类数学著作中内容呈现和表达的特点。

　　我们现在所称的《杨辉算法》是指包含了《乘除通变算宝（本末）》《田亩比类乘除捷法》《续古摘奇算法》三种著作的集合。现存该书足本很少，1433年朝鲜翻刻洪武十一年（1378）的版本完整流传至今。其中《续古摘奇算法》是在“刘碧涧、丘虚谷所携诸家算法奇题及旧刊遗忘之文”的基础上添续、摘录而成。其“卷上”主要是纵横图，给出三阶到十阶的幻方。此外，围绕某一算法，该书中算题的组织和编排体现出一定的逻辑性和关联性，会围绕所引用的经典文献逐步扩展，补充题目和解法。如杨辉在引用《孙子算经》“物不知总数，只云三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问本总数几何”的题目之后，对其解法赋予了“剪管术”的名称，以管长比喻数字的大小，以用固定的管长标准去衡量或剪裁另一长度的行为来比喻在某一数字中按某一小数（或三或五）重复计数。紧随其后的“今续四问”，不仅将纯数字计算的题目置于对劳工分配酒肉钱物的情景之中（如每三人支肉一斤，剩若干钱，每五人支钱一贯，剩若干钱等条件），还以纯数字的方式，拓展和变化《孙子算经》中的题目条件。这种做法与杨辉经常在其他各书中采用的“比类”方式相一致，是其著作的一个显著特色。

　　《田亩比类乘除捷法》一书分为上下两卷，上卷首先由“田亩”即平面图形的面积计算展开论述，提供各种基本算法，涉及直田、方田、圆田、环田、圭田、梯田等。在相应的田地之后，通过类比给出这些算法被推广到其他语境下的应用。这表明，在《九章算术》传统下“田”一词并非仅涉及实际的土地面积问题，甚至也不只是抽象的几何图形的代名词，而是作为一个能够衍生、比类出其他算法的问题范畴。经过杨辉此处的类比，单纯涉及数值计算的题目，如求铜之重量、纱之价值这样的问题，都有了所对应的几何意义。这正对应于杨辉所言“直田长阔相乘，与万象同。中山刘先生益《议古根源》序曰：‘入则诸门，出则直田。’”。而在这样的思路下，在上卷中圆箭、方箭、圭垛、梯垛等“垛积术”（级数）的问题，也在田的面积模型下经过类比而给出求和解法。

　　《杨辉算法》中最能体现杨辉结构体系和叙述逻辑的是《乘除通变算宝（本末）》。“算宝”在算学史上并非固定的用法，借助杨辉的序言，可从字面将其理解为通过乘除简捷算法以“羽翼算家之妙”的珍贵著作。该书及其每卷的命名显示出了书籍的内在结构，但就此足本的韩国翻刻本来看，其名称却多有混乱。除“算宝”之外的各分卷标题的用词，如“通变”“本末”“算法”“法算”和“取用”与书籍自身的知识体系以及作者采用的叙述逻辑都有一定关系。

　　在该书中，杨辉给出了数学教学活动的课程大纲，反映出他认为学生应掌握的数学体系，以及获得该知识体系的教育学过程。在该课程目标中，杨辉首先指出乘除的基础性地位，在经过一段时间学习掌握后，需进行各种分数运算的学习和训练；而作为“算法中大节目”的开方，则被分为七种，借助“少广”和“勾股”两章相关内容进行学习。在掌握这些算法之后，学者可以进入《九章算术》的学习，但剩下困难的内容已不多，方田、粟米只需一日学习，而衰分、少广、商功、均输也都可以划归到已掌握的算法中，困难者仅盈不足、方程和勾股三种算法。其中勾股章中的内容尤具有拓展性，杨辉举了刘徽和刘益在此基础上分别发展出含“重差之术测望”的《海岛算经》和“带纵益隅开方”的《议古根源》的例子，以激励后学对《九章算术》的深入钻研。由此可见，教学活动和知识传授是“习算纲目”的核心，这也渗透到《杨辉算法》本身的内容组织和体系之中。而杨辉在这里构建的整个数学知识体系连同他的算法著作一起，被后来的诸多算家继承和发展。

　　（作者系中国科学院自然科学史研究所副研究员）