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■ 定义 ∨、∧和↔的引入
来源图书：
逻辑演算
作者：刘壮虎
出版日期：1993年12月01日
简介：
为了便于将命题演算和命题逻辑作对照，我们在命题演算中引进新的符号∧、∨和↔。在形式系统中引进新符号的方法称为定义，它要求新引进的符号必须用初始符号表达出来，并有一个机械的方法将它们消去。定义用符号=表示。定义 对于任何公式A和B（1）（A∧B）=（A→﹁B）；（2）（A∨B）=（﹁A→B）；（3）（A↔B）=（（A→B）∨（B→A））。定义（1）（2）的左边包含新定义的符号，右边全是初始符号，这样就能保证能将一个有新符号的公式用没有新符号的公式替代，从而消去新符号。在定义（3）中，右边不全是初始符号。但∧已经在定义（1）中引进，所以可以在定义（3）的右边出现。一般地，如果一个符号已经被定义所引...
■ 演绎定理
来源图书：
逻辑演算
作者：刘壮虎
出版日期：1993年12月01日
简介：
前面引进了推演，建立了一些导出规则，简化了证明。但是如果为了证明内定理，则导出规则中的假设必须是前面已经得到的。整个内定理的证明过程不能利用假设。现在来建立一些消去假设的原则，利用这些原则，可以从有假设的推演得到内定理。其中最重要的是演绎定理。定理2.6 （演绎定理）如果Γ∪{A}├B，则Γ├A→B。证 设从Γ∪{A}到B的推演为A1，…，A（=B）。归纳证明对于每个A（i=1，…n）都有Γ├A→A。从而就有Γ├A→B。（1）A是公理或A∈Γ，则AA→A→AA→A就是Γ到A→A的推演，所以Γ├A→A。（2）A=A，因为A→A是内定理，所以Γ├A→A。（3）A是由A和A=A→A通过分离规则得到的...
■ 推演 导出规则
来源图书：
逻辑演算
作者：刘壮虎
出版日期：1993年12月01日
简介：
首先推广证明的概念。用Γ、Σ等表示公式集，∅表示空集。推演 Γ是公式集，A1，…，A是有限的公式序列。如果每个A（1≤i≤n）满足以下条件之一，称这公式序列是以Γ为假设的一个推演。（1）A是公理；（2）A是Γ中的公式（即A∈Γ）；（3）A是序列中较前的两个公式应用分离规则得到的。（即存在j，k＜i，使得A=A→Ai）。推演和证明几乎一样，只是在推演中作为出发点的公式除了公理外，还可以是Γ中的公式。 如果以Γ为假设的推演的最后一项是A，则称这个推演是从Γ到A的一个推演。如果存在Γ到A的推演，则称Γ推出A或A是Γ的推论，记作Γ├A。如果Γ={A}则简记Γ├B为A├B。Γ和Σ都是公式集，如果任给A∈...
■ 证明和内定理
来源图书：
逻辑演算
作者：刘壮虎
出版日期：1993年12月01日
简介：
由形成规则，一个公式可能有许多括号。在讨论系统的性质时，为了方便，书写系统内的公式时可以省略一部分括号。省略的原则是在不至于混淆的情况下尽量省略，并且可以很自然的补充上。有以下两种情况：（1）最外面的括号一律省略；（2）连续几个蕴涵间没有括号，是指从最后一个蕴涵起，逐渐向前添上括号。如A→（A→A）→A是指（A→（（A→A）→A）），C→A→B→A是指（C→（A→（B→A）））。由这两条，三组公理可以省略如下：（1）A→B→A（2）（A→B→C）（A→B）→A→C；（3）（﹁A→B）→（﹁A→﹁B）→A。现在开始严格叙述命题演算系统内的推演过程。证明 A1，…，A是一个有限公式序列，如果每个公...
■ 命题演算
来源图书：
逻辑演算
作者：刘壮虎
出版日期：1993年12月01日
简介：
命题演算是一个形式系统，根据形式系统的一般概念，它应该由初始符号、形成规则、公理和推演规则四部分组成。以下分别讨论。（1）p1，p2，…，pn，……（2）﹁，→；（3）（，）。为了说话方便，给它们以名称。（1）中的符号称为命题变项。（2）中的符号称为联接词，其中“﹁”称为否定，“→”称为蕴涵。（3）中的符号称为括号，其中“（”称为左括号，“）”称为右括号。注意，这些符号的名称是从命题逻辑中借用来的。因为命题演算是命题逻辑的形式化，我们用和命题逻辑中用的同样的符号，也给予它们同样的名称，但作为这些符号本身是没有相应的含义的。如命题逻辑中的命题变项是指抽象的命题，而这里的命题变项只是一些符号。又如...
■ 公理系统和形式系统
来源图书：
逻辑演算
作者：刘壮虎
出版日期：1993年12月01日
简介：
我们可以将命题逻辑的问题化归为重言式的讨论。将全体重言式作为一个整体，将它形式化，就是命题演算。在构造命题演算之前，我们对于一般的形式化中应用的概念作一些说明。公理系统 从一些公理出发，根据一定的法则，推演出一系列定理，这样的系统称为公理系统。如大家熟悉的欧氏几何就是一个公理系统。但从现在的观点看，欧氏几何作为一个公理系统是有缺陷的。现在的公理系统特别强调严格性，必须给出所有的公理和推演规则，任何推演必须严格按照推演规则进行。而不强调公理的自明性，可以为了不同的目的，选取不同的公理。形式化的公理系统 现在的公理系统一般都是形式化的。在这种公理系统内，从一些明确规定的初始符号出发，根据一定的规则...
■ 重言式 推理形式的化归
来源图书：
逻辑演算
作者：刘壮虎
出版日期：1993年12月01日
简介：
从真值看，真值形式可以分为三类：（1）取值常真的；（2）取值常假的；（3）取值有真有假的。取值常真的真值形式称为重言式。真值形式的真值表反映了这个真值形式的各种取值情况。如果一个真值形式的真值表的值都是真的，则这个真值形式是重言式。反之如果一个真值形式是重言式，则它的真值表的值都是真的。因此我们能够通过真值表来判定一个真值形式是否是重言式。重言式是命题逻辑的规律。如重言式p1→p2、p1∨﹁p1和﹁（p1∧﹁p1）分别表示命题逻辑中的同一律、排中律和无矛盾律。又如﹁p1→（p1→p2）和p1→（p2→p1）都是重言式，它们反映了两条所谓蕴涵悖论的逻辑规律：“假命题实质蕴涵任何命题”和“真命题被...
关键词：
推理形式
■ 真值联接词的互相表达
来源图书：
逻辑演算
作者：刘壮虎
出版日期：1993年12月01日
简介：
日常联接词是很多的，但我们并不对每个日常联接词都相应构造一个真值联接词，用以表示这个日常联接词所刻画的真假的联系，而是用五个真值联接词或它们的某种组合来表示。在前面的例子中，“只有…才”是用→和﹁的组合来表示，“要么…要么”是用∧、∨和﹁的组合来表示。再看一个例子。例1.12 （三个命题变项的多数原则）当取真的命题变项个数多时，它取真；当取假的命题变项个数多时，它取假。这样的真值形式可以表示为（p1∧p2∧p3）∨（p1∧p2∧﹁p3）∨（p1∧﹁p2∧p3）∨（﹁p1∧p2∧p3）。（相连的∨和∧间不加括号的理由在于：不管如何加括号，它们的真值总是一样的，见例1.10和习题1.4）。以后我们...
