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■ 合取范式和析取范式
来源图书：
逻辑演算
作者：刘壮虎
出版日期：1993年12月01日
简介：
现在讨论命题演算中的范式。简单析取 A=A1∨…∨A。如果每个A（i=1，…，n）都是命题变项或命题变项的否定，则称A是一个简单析取。其中每个A都称为它的析取分支。如p1∨﹁p1、p1∨p1∨p2都是简单析取，而p1∨﹁﹁p1、p1∨（p1∧p2）不是简单析取。注意n可以等于1，所以单个命题或单个命题变项的否定是简单析取，如p1，﹁p2等。显然，如果A和B都是简单析取，则A∨B也是简单析取。简单合取 A=A1∧…∧A。如果每个A（i=1，…，n）都是命题变项或命题变项的否定，则称A是一个简单合取。其中每个A都称为它的合取分支。如p1∧p1∧p2、﹁p2∧﹁p3都是简单合取，而﹁（p1∧﹁p1）...
关键词：
公式
■ 基本置换定理
来源图书：
逻辑演算
作者：刘壮虎
出版日期：1993年12月01日
简介：
范式，简单地说就是一种公式的标准形式，它有以下两个特征：（1）具有较容易分析的形式；（2）每个公式都可以在保持一定的语法和语义性质不变的条件下变形到这种公式。所以在讨论范式时，经常需要将公式变形并保持一定的语法性质。用以前的一些推演是不够的，需要一个重要的定理——基本置换定理。这节里只讨论命题演算中的基本置换定理。置换的直观意义非常简单，只要将A中一个指定的子公式B换成C，就得到A的一个置换。以下给出严格的定义。置换 将A中一个指定的子公式B换成C，称为在A中用C置换B，记作A〔B/C〕，它的归纳定义如下：（1）A是指定的B。A〔B/C〕=C。（2）A=﹁A1，指定的B在A1中。A〔B/C〕=...
■ 谓词演算的语义完全性
来源图书：
逻辑演算
作者：刘壮虎
出版日期：1993年12月01日
简介：
在命题演算中，我们引进了可满足、逻辑后承、和谐、极大和谐等概念，并证明了和谐及极大和谐的一些性质。这些概念和性质可以推广到谓词演算，只要将公式改为谓词演算的公式，将真值指派改为赋值就行了。Γ是公式集，σ是赋值。如果任给A∈Γ，都有σ（A）=T，则称Γ在σ下真，记作σ（Γ）=T。可满足 如果存在赋值σ，使得σ（Γ）=T，则称Γ是可满足的。逻辑后承 如果任给使得σ（Γ）=T的σ，都有σ（A）=T，则称A是Γ的逻辑后承，记作Γ╞A。特别地，空集∅的逻辑后承就是普遍有效的公式。以后将∅╞A简记为╞A。和谐 如果不存在公式A，使得Γ├A且Γ├﹁A，则称Γ是和谐的。极大和谐 Γ是和谐的。如果任给A∉Γ，都...
■ 谓词演算的系统性质
来源图书：
逻辑演算
作者：刘壮虎
出版日期：1993年12月01日
简介：
谓词演算是谓词逻辑的形式化，最主要的系统性质是语义一致性和语义完全性。在这节中先讨论语义一致性。在证明语义一致性前，先不加证明的叙述两个有关赋值的性质。（详细证明可参考本从书中的《一阶逻辑和一阶理论》）。（1）公式在赋值σ下的值只和公式中的谓词和自由变元在σ下的值有关。详细地说，如果A中的谓词和自由变元分别是G1，…，G和x1，…，x，又σ（G）=τ（G）（i=1，…，m），σ（x）=τ（x）（i=1，…，n），则σ（A）=τ（A）。（2）如果A（x/y）是合适的代入且τ=σ（x，σ（y）），则τ（A）=σ（A（x/y））。谓词演算的语义一致性的证明方法类似于命题演算。先证明每个公理是普遍有效...
■ 演绎定理
来源图书：
逻辑演算
作者：刘壮虎
出版日期：1993年12月01日
简介：
A→∀xA一般不是普遍有效的，所以不应该有├A→∀xA，而概括规则实际上就是A├∀xA。所以类似于命题演算那种形式的演绎定理在谓词演算中是不成立的。但可以证明加上一定条件的演绎定理在谓词逻辑中是成立的。在命题演算中，是用归纳法证明演绎定理的。对从Γ∪{A}到B的推演A1，…，A（=B），归纳证明Γ├A→A（i=i，…，n）。对于A∈Γ或A是公理，用的是公理（1）和分离规则；对于A=a，用的是内定理A→A；对于A是由A和A经过分离规则得到的，用的是公理（2）和分离规则。这样的证明在谓词演算中也成立。问题出在谓词演算中还有概括规则，从A得到∀xA，但从Γ├A→A一般不能得到Γ├A→∀xA。然而从习...
■ 谓词演算
来源图书：
逻辑演算
作者：刘壮虎
出版日期：1993年12月01日
简介：
和命题演算类似，我们对谓词逻辑构造一个形式系统——谓词演算，目的是形式推演出所有普遍有效的公式来。有了形式语言后，建立谓词演算只需要给出公理和推演规则。公理 在谓词演算中，也采用公理模式的方法。对任何公式A、B、C和任何变元x、y，以下都是公理。（1）A→B→A；（2）（A→B→C）→（A→B）→A→C；（3）（﹁A→B）→（﹁A→﹁B）→A；（4）∀x（A→B）→∀xA→∀xB；（5）A→∀xA，x在A中不自由；（6）∀xA→A（x/y），A（x/y）是合适的代入。公理（1）（2）（3）和命题演算是类似的，直观意义也相同，不再解释了。公理（4）是关于全称量词和蕴涵的关系，它的直观意义是清楚的...
■ 赋值 可满足和普遍有效
来源图书：
逻辑演算
作者：刘壮虎
出版日期：1993年12月01日
简介：
现在讨论谓词逻辑公式的解释，谓词逻辑中的公式也解释成真和假。在命题逻辑中，只要给定了一个真值指派，即对每个命题变项给定一个真值，就可以归纳定义每个公式的真值了。在谓词逻辑中，公式也是通过归纳构造而成的，所以只要对它的基本成份——原子公式规定真值，再规定如何从A和B的真值得到﹁A、和∀xA的真值的方法，就可以得到一切公式的真值了。从A和B的真值确定﹁A和A→B的真值可仿照命题逻辑，所以谓词逻辑中确定公式的真值主要是如何确定原子公式和全称公式的真值。取定一个个体域，将变元解释成个体域中的个体，将谓词解释成这个个体域上的关系，则原子公式是否为真可以归结为某个个体组是否有某种关系。在给定的一个解释下，...
■ 自由和约束 代入
来源图书：
逻辑演算
作者：刘壮虎
出版日期：1993年12月01日
简介：
有了量词，变元在公式中的情况就有所不同，这种不同对于它们的作用有决定意义。为了讨论这种不同，需要一些概念。子公式 一个公式中一部分连续的符号构成的公式叫做这个公式的子公式。子公式必定在这个公式的构成过程中出现。如在中，是它的子公式，在中是它的子公式。辖域 在公式∀xA中，A称为∀x的辖域。如果∀xA是B的子公式，则称B中∀x的辖域是A。直观地说，∀x的辖域就是紧跟它的最短的公式。要注意∀x在B中可能有多次出现，每次出现都有一个辖域。如在中，第一个∀v1的辖域是，第二个∀v1的辖域是。辖域还可以一个套着一个，如在中，第二个∀v1的辖域在第一个∀v1的辖域中。对于存在量词∃也有辖域。如果∃xA是B...
