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■ 非古典逻辑的意义 正逻辑
来源图书：
逻辑演算
作者：刘壮虎
出版日期：1993年12月01日
简介：
本世纪初，由于悖论的发现，展开了数学基础的大争论。以Brower为代表的直觉主义者对数学提出了一种观点，主要是强调证明的可行性和构造性，以致他们怀疑古典逻辑的普遍适用性。他们认为古典逻辑是从关于有限事物的推理中总结出来的，将这些逻辑规律推广到无限上是没有根据的，是产生悖论的根本原因。排中律就是一个典型的例子。设A是这样一个命题：所有的元素都有性质φ。对于有限集合，我们可以通过逐个检查它的元素是否有性质φ。如果我们找到了一个元素没有性质φ，则否定了命题A；如果每个元素都有性质φ，则肯定了命题A。所以命题A不是肯定就是否定，排中律成立。对于无限集合，如果我们找到了一个元素没有性质φ，则可以否定A；...
■ 不同的自然推演系统
来源图书：
逻辑演算
作者：刘壮虎
出版日期：1993年12月01日
简介：
自然推演系统也能有不同的系统。一、减少初始符号的自然推演系统。为了使自然推演系统更为简单些，可以减少初始符号。前面所建立的命题演算自然推演系统2的初始符号中已经少了↔。在命题演算的自然推理系统中，可以取初始符号﹁和→，则推演规则就只有分离规则了。然后利用定义引进∨、∧和↔，将其它的推演规则作为导出规则。在谓词演算的自然推演系统中，可以取初始括号﹁、→和∀，去掉关于∃的推演规则和第二类直接证明和间接证明。当然，这样做有点违反自然推演系统的出发点。这种系统的作用是为了讨论自然推演系统的系统性质的一种简化的系统，或作为讨论通常的自然推演系统的系统性质的一个中间系统。二、用推演作为初始概念的自然推演系...
■ 不同的谓词演算公理系统
来源图书：
逻辑演算
作者：刘壮虎
出版日期：1993年12月01日
简介：
在谓词演算中取不同的联接词和不同的有关联接词的公理，当然也得到谓词演算的不同系统。但这只是它们的命题演算部分的不同，不用再讨论了。以下讨论改变关于量词的公理和推演规则得到的不同系统。一、增加存在量词3的公理系统。有的谓词演算系统将存在量词3也作为初始符号，这就需要增加有关∃的公理和推演规则。如在1的基础上增加以下三组公理：（1）∀x（A→B）→∃xA→∃xB；（2）A（x/y）→∃xA，其中A（x/y）是合适的代入；（3）∃xA→A，其中x在A中不自由。就能得到一个用两个量词（∀和∃）作为初始符号的谓词演算公理系统。这个系统记作3。在3中成立基本置换定理，并且有├∃xA↔﹁∀x﹁A。又1的只含...
■ 不同的命题演算公理系统
来源图书：
逻辑演算
作者：刘壮虎
出版日期：1993年12月01日
简介：
在以下的命题演算的公理系统中，推演规则都是分离规则和代入规则。一、两个联接词的系统。在五个通常的真值联接词中，﹁和→、﹁和∨、﹁和∧都能够表示其它真值联接词，所以用这三组联接词都能建立命题演算系统。使用﹁和→的系统最为常见。由Frege最早建立的命题演算系统就是用﹁和→的，他的系统有六个公理：（1）p1→p2→p1；（2）（p1→p2→p3）→（p1→p2）→p1→p2；（3）（p1→p2→p3）→p2→pl→p3；（4）（p1→p2）→﹁p2→﹁p1；（5）﹁﹁p1→p1；（6）p1→﹁﹁p1。由公理（1）和（2）很容易证明p1→p1，所以在这个系统中也成立有限制的演绎定理。另外，很容易证明...
■ 不用模式的命题演算系统
来源图书：
逻辑演算
作者：刘壮虎
出版日期：1993年12月01日
简介：
命题演算的初始符号分三部分：命题变项、联接词和括号。可以选取不同的联接词作为初始符号，如前面介绍的公理系统中，用﹁和→作为初始符号；前面介绍的自然推演系统，用﹁、→、∧和∨作为初始符号。取定联接词后还可以选取不同的公理和推演规则。所以命题演算的不同系统是非常多的。我们只能从类型的角度介绍它们，如前面所讨论的公理系统和自然推演系统就是两种不同类型的系统。这一节先介绍一种不用公理模式，而只用个别公理的系统。为了简单起见，我们取﹁和→作为初始联接词，这样所有的公式就和前面讨论的公理系统一样了。在这样的系统中出现的新概念是代入。命题变项的代入直观上相当简单，在公式A中，将π的每个出现都换成公式B，就是...
■ 谓词演算的自然推演系统
来源图书：
逻辑演算
作者：刘壮虎
出版日期：1993年12月01日
简介：
也可以建立谓词演算的自然推演系统。谓词演算公理系统的全部初始符号，再增加联接词∧和∨、增加量词∃。词谓演算公理系统的全部形成规则，再增加：如果A和B是公式，则（A∧B）和（A∨B）是公式；如果A是公式，x是变元，则∃xA是公式。命题演算自然推演系统的全部推演规则，再增加有关量词的推演规则如下：（7），称为概括，记作∀+；（8），其中A（x/y）是合适的代入，记作∀-；（9），其中A（x/y）是合适的代入，记作∀+。在谓词演算公理系统中，演绎定理是有限制的，从而反证法第二形式也是有限制的。所以本质上等于这两个定理的直接证明规则和间接证明规则也需要加上相应的限制条件。另外，由于存在量词的出现，证明...
■ 斜形证明（续）
来源图书：
逻辑演算
作者：刘壮虎
出版日期：1993年12月01日
简介：
要使得斜形证明确实是一种合适的证明方法，必须证明用斜形证明得到的可证公式恰好是内定理。即需要证明内定理都是可证公式，可证公式都是内定理。内定理是可证公式的证明比较简单。定理 8.20 每个内定理都是可证公式。证 在一个内定理的证明中可能需要使用已证内定理，所以要用某种归纳法来证明本定理。具体想法是：要证明一个内定理是可证公式，可以假设这个内定理的证明中所使用的已证内定理已经是可证公式了。设A=A1→…→A→C是内定理，分以下两种情况分别证明A有一个广义斜形证明，因此A是可证公式。（1）A有直接证明B1，…，B（=C），则可以构造A的广义斜形证明如下：如果某个B是已证内定理，则由归纳假设，它是可...
■ 斜形证明
来源图书：
逻辑演算
作者：刘壮虎
出版日期：1993年12月01日
简介：
可以对命题演算的自然推演系统构造一种新的证明方法，这种证明方法可以将一个内定理的证明全部列出。这就是斜形证明。斜形序列 A1，…，A是一公式序列。如果对每个A（i=1，…，n）规定一个自然数N（A），则称这个序列为一个斜形序列。如果我们将公式序列竖写，则N（A）的直观意义就是A前的空格数。这样一个竖写的公式序列不成为一条直线，所以称为斜形序列。在斜形序列中，公式不但有前后（也就是上下），而且还有左右。例 8.1 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7就是一个斜形序列。其中N（A1）=N（A4）=N（A6）=1，N（A2）=N（A3）=N（A5）=2，N（A7）=0。在通常的证明序列中，如果i...
